原神新圣遗物来歆余响效果触发情况分析

HPDell

2022年4月4日

数学

原神

原神2.6版本新增加的一个圣遗物来歆余响，被认为是和绫人比较搭配的一个圣遗物套装。其四件套描述效果是这样的：

普通攻击命中敌人时，有36%概率触发「幽谷祝祀」：普通攻击造成的伤害提高，伤害提高值为攻击力的70%，该效果将在普通攻击造成伤害后的0.05秒后清除。普通攻击未触发「幽谷祝祀」时，会使下次触发概率提升20%；0.2秒内至多判定1次触发与否。

本来有一个暴击暴伤是概率问题就已经很看脸了，圣遗物特效再来个概率触发，还有保底机制，这就相当令人头疼了。到底这个特效触发频率是怎么样的？下面我们来简单分析一下。

效果描述中的“0.2秒内之多判定1次触发与否”基本是为了保证一次攻击一次判定，避免在面对多怪情况时，一次攻击同时命中多名敌人导致判定多次。而“0.05秒后清除”应该是为了避免一次攻击同时命中多名敌人时，后命中的敌人在结算伤害时算不到特效的情况。所以这两条和触发概率无关。

但是后面对于概率提升的机制描述，我自己产生了两种理解：

本次普通攻击如果没有触发，那么下次触发概率在36%的基础上提升20%
本次普通攻击如果没有触发，那么下次触发概率在本次触发概率基础上提升20%

由于我也没有体力去刷圣遗物，所以也不知道那种理解是对的。下面我们干脆就分情况讨论。

第一种情况

我们计算进入战斗状态后或者上次成功触发特效后，直到第 $n$ 次攻击才触发特效的概率 $p$ 。当连续不触发特效时，特效触发概率提升值（20%）不会累加。也就是说，即使前面没有触发特效的次数再多，这次攻击触发概率依然是56%。我们有两种方法可以分析触发情况：首次触发所需攻击次数的期望和第无穷次攻击触发的概率。

首次触发所需攻击次数的期望

由此可知

当 $n = 1$ 时， $p = 0.36$
当 $n = 2$ 时， $p = 0.64 * 0.56$
当 $n = 3$ 时， $p = 0.64 * 0.44 * 0.56$
当 $n = 4$ 时， $p = 0.64 * {0.44}^{2} * 0.56$

那么，总结起来就是

p = {\begin{cases} 0.36, & n = 1 \\ 0.64 \times {0.44}^{m - 2} \times 0.56, & n ⩾ 2 \end{cases}

上述函数也就是触发所需攻击次数 $n$ 的概率质量函数 $F (n)$ 。

根据该质量函数，就能计算出特效触发次数的期望值 $E$ 。这里我们先假定玩家可以无限制攻击下去，该期望就可以看作是一个无穷级数求和的问题。期望值计算的公式是

E = 0.36 + \sum_{i = 2}^{\infty} i \times (0.64 \times 0.56 \times {0.44}^{i - 2})

后半部分其实是一个差比数列（无穷级数）求和问题，其中 $0.64 \times 0.56 = 0.3584$ 。最终得到的将结果是

E = 0.36 + 0.3584 \times (\frac{2}{0.56} + \frac{0.44}{{0.56}^{2}}) = \frac{7}{15} \approx 2.142857

所以，期望在第2或3次攻击时能够触发来歆余响四件套效果。

通过计算概率值也能发现，前三次攻击触发效果的概率已经达到87%，前四次达到了94%，基本上就是四次攻击必出特效了，除非真的特别脸黑才一直不触发效果。而第五次攻击才出特效地概率已经不到1%，第七次才触发的概率只有0.6%，差不多是单抽出金的概率。按照绫人的攻速，这差不多也就是2秒的时间。所以特效触发情况应该是能够得到保证的。

第无穷次攻击触发的概率

感谢米游社网友梦卷残云提供的思路

如果要算第 $n$ 次攻击触发的概率，可以先分析以下这个概率值受什么影响。从文本描述中看，触发概率其实就两种情况：如果前一次触发了，这次触发概率是36%；如果前一次没触发，这一次触发概率是56%。所以说，当前攻击触发的概率只和前一次攻击是否触发有关。因此，我们可以得到这样的式子

\begin{aligned} P (n) & = P (n - 1) \times 0.36 + (1 - P (n - 1)) \times 0.56 \\ = 0.56 - \frac{1}{5} P (n - 1) \\ = \frac{14}{25} \sum_{i = 1}^{n - 1} {(- \frac{1}{5})}^{i - 1} + {(- \frac{1}{5})}^{n - 1} P (1) \end{aligned}

其中 $P (1) = 0.36$ 。那么，如果我们假设当前攻击之前，已经有了非常多次数的攻击了（因为文本中并没有描述脱离战斗状态或者下场时回到初始状态）。也就是说，当前攻击时， $n \to \infty$ ，那么

lim_{n \to \infty} P (n) = \frac{140}{300} = \frac{7}{15} \approx 0.46667

事实上，如果我们算首次触发所需要攻击次数的期望，正好是第无穷次攻击触发的概率的倒数。

上述期望和概率的关系

那有没有一种方法，建立起之前计算的成功所需次数的期望和平均概率之间的关系呢？

我们现在假设一名角色在战斗中一共触发了 $k$ 次套装效果，其中第 $i$ 次触发所用的攻击次数为 $n_{i}$ ，那么总的攻击次数 $N$ 就有

N = n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k} = \sum_{i = 1}^{k} n_{i}

我们不知道具体值，但是可以对等式两边取期望

E (N) = E (n_{1}) + E (n_{2}) + \dots + E (n_{k}) = k E (n)

另一方面，如果我们将这个过程视为概率不变的二项分布，触发的概率是 $p$ ，如果我们要触发 $k$ 次，所需要的总攻击次数 $N$ 就变成了一个随机变量，设其中不成功的次数有 $m$ 次，其概率质量为

f_{N} (k + m) = C_{k + m - 1}^{m} p^{k} (1 - p)^{m}

那么我们可以计算出 $N$ 的期望

\begin{aligned} E (N) & = \sum_{m = 0}^{\infty} (k + m) f_{N} (k + m) \\ = \sum_{m = 0}^{\infty} (k + m) C_{k + m - 1}^{m} p^{k} (1 - p)^{m} \\ = \sum_{m = 0}^{\infty} (k + m) \frac{(k + m - 1)!}{m! (k - 1)!} p^{k} (1 - p)^{m} \\ = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{k}{p} \frac{(k + m)!}{m! k!} p^{k + 1} (1 - p)^{m} \\ = \frac{k}{p} \sum_{m = 0}^{\infty} C_{k + m}^{m} p^{k + 1} (1 - p)^{m} \\ = \frac{k}{p} \sum_{m = 0}^{\infty} C_{k^{'} + m - 1}^{m} p^{k^{'}} (1 - p)^{m} \\ = \frac{k}{p} \sum_{m = 0}^{\infty} f_{N} (k^{'} + m) \end{aligned}

其中 $k^{'} = k + 1$ 。右面的级数其实就是一个概率分布之和，和 $f_{N} (m)$ 一样的，只是 $k$ 换成了 $k^{'}$ 。如果我们认为这个概率和确实是1，那么就有

E (N) = \frac{k}{p}

在结合前面 $E (N) = k E (n)$ 的结论，就有

E (n) = \frac{1}{p}, p = \frac{1}{E (n)}

所以这样我们就可以求得套装效果触发的概率，我们可以将这个概率称作“平均概率”。

至于如何证明概率之和 $\sum_{m = 0}^{\infty} f_{N} (k + m)$ 是1，老实说我也不知道，但我们可以用 Maple 的符号计算功能进行验证。在假设 $0 < p < 1, k \in N^{+}$ 的情况下，这个结论可以得到验证。我们也可以顺便验证一下之前的期望计算的对不对。

可以看到 Mapple 推导得到了我们所以我们的计算没有问题。

第二种情况

这种情况下的状态图

这种情况就比较简单了，我们还是采用和第一种情况一样的思路，即直到第 $n$ 次攻击才触发特效的概率 $p$ 。显然，如果前四次攻击都没有触发效果，第5次攻击必定触发效果。当 $n = 1$ 时 $p (n) = 0.36$ ；当 $1 < n ⩽ 5$ 时，

p (n) = min [(0.36 + 0.2 (n - 1)), 1] \prod_{i = 1}^{n - 1} [1 - (0.36 + 0.2 (i - 1))]

我们可以简单列出一个表

n	1	2	3	4	5
p	0.36	0.3584	0.214016	0.06488064	0.00270336

这样我们就可以计算出首次触发特效的期望攻击次数 $E (n) = 1.991887$ ，约等于 2。根据之前的结论，等效的二项分布试验成功的概率 $p$ 大约为50.2%。同时，这个情况下，前3次攻击的概率也达到了 93.2%，所以基本在前三次攻击就能触发特效，和第一种情况差不多。

虽然新圣遗物很不错，但我选择水套。别问，问就是没树脂。