原神新圣遗物来歆余响效果触发情况分析

原神2.6版本新增加的一个圣遗物来歆余响,被认为是和绫人比较搭配的一个圣遗物套装。其四件套描述效果是这样的:

普通攻击命中敌人时,有36%概率触发「幽谷祝祀」:普通攻击造成的伤害提高,伤害提高值为攻击力的70%,该效果将在普通攻击造成伤害后的0.05秒后清除。普通攻击未触发「幽谷祝祀」时,会使下次触发概率提升20%;0.2秒内至多判定1次触发与否。

本来有一个暴击暴伤是概率问题就已经很看脸了,圣遗物特效再来个概率触发,还有保底机制,这就相当令人头疼了。到底这个特效触发频率是怎么样的?下面我们来简单分析一下。

效果描述中的“0.2秒内之多判定1次触发与否”基本是为了保证一次攻击一次判定,避免在面对多怪情况时,一次攻击同时命中多名敌人导致判定多次。而“0.05秒后清除”应该是为了避免一次攻击同时命中多名敌人时,后命中的敌人在结算伤害时算不到特效的情况。所以这两条和触发概率无关。

但是后面对于概率提升的机制描述,我自己产生了两种理解:

  1. 本次普通攻击如果没有触发,那么下次触发概率在36%的基础上提升20%
  2. 本次普通攻击如果没有触发,那么下次触发概率在本次触发概率基础上提升20%

由于我也没有体力去刷圣遗物,所以也不知道那种理解是对的。下面我们干脆就分情况讨论。

第一种情况

我们计算进入战斗状态后或者上次成功触发特效后,直到第n次攻击才触发特效的概率p。当连续不触发特效时,特效触发概率提升值(20%)不会累加。也就是说,即使前面没有触发特效的次数再多,这次攻击触发概率依然是56%。我们有两种方法可以分析触发情况:首次触发所需攻击次数的期望和第无穷次攻击触发的概率。

state1.png

首次触发所需攻击次数的期望

由此可知

  • n=1时,p=0.36
  • n=2时,p=0.640.56
  • n=3时,p=0.640.440.56
  • n=4时,p=0.640.4420.56

那么,总结起来就是

p={0.36,n=10.64×0.44m2×0.56,n2

上述函数也就是触发所需攻击次数n的概率质量函数F(n)

根据该质量函数,就能计算出特效触发次数的期望值E。这里我们先假定玩家可以无限制攻击下去,该期望就可以看作是一个无穷级数求和的问题。期望值计算的公式是

E=0.36+i=2i×(0.64×0.56×0.44i2)

后半部分其实是一个差比数列(无穷级数)求和问题,其中0.64×0.56=0.3584。最终得到的将结果是

E=0.36+0.3584×(20.56+0.440.562)=7152.142857

所以,期望在第2或3次攻击时能够触发来歆余响四件套效果。

通过计算概率值也能发现,前三次攻击触发效果的概率已经达到87%,前四次达到了94%,基本上就是四次攻击必出特效了,除非真的特别脸黑才一直不触发效果。而第五次攻击才出特效地概率已经不到1%,第七次才触发的概率只有0.6%,差不多是单抽出金的概率。按照绫人的攻速,这差不多也就是2秒的时间。所以特效触发情况应该是能够得到保证的。

第无穷次攻击触发的概率

感谢米游社网友梦卷残云提供的思路

如果要算第 n 次攻击触发的概率,可以先分析以下这个概率值受什么影响。从文本描述中看,触发概率其实就两种情况:如果前一次触发了,这次触发概率是36%;如果前一次没触发,这一次触发概率是56%。所以说,当前攻击触发的概率只和前一次攻击是否触发有关。因此,我们可以得到这样的式子

P(n)=P(n1)×0.36+(1P(n1))×0.56=0.5615P(n1)=1425i=1n1(15)i1+(15)n1P(1)

其中 P(1)=0.36 。那么,如果我们假设当前攻击之前,已经有了非常多次数的攻击了(因为文本中并没有描述脱离战斗状态或者下场时回到初始状态)。也就是说,当前攻击时,n ,那么

limnP(n)=140300=7150.46667

事实上,如果我们算首次触发所需要攻击次数的期望,正好是第无穷次攻击触发的概率的倒数。

上述期望和概率的关系

那有没有一种方法,建立起之前计算的成功所需次数的期望和平均概率之间的关系呢?

我们现在假设一名角色在战斗中一共触发了 k 次套装效果,其中第 i 次触发所用的攻击次数为 ni ,那么总的攻击次数 N 就有

N=n1+n2++nk=i=1kni

我们不知道具体值,但是可以对等式两边取期望

E(N)=E(n1)+E(n2)++E(nk)=kE(n)

另一方面,如果我们将这个过程视为概率不变的二项分布,触发的概率是 p ,如果我们要触发 k 次,所需要的总攻击次数 N 就变成了一个随机变量,设其中不成功的次数有 m 次,其概率质量为

fN(k+m)=Ck+m1mpk(1p)m

那么我们可以计算出 N 的期望

E(N)=m=0(k+m)fN(k+m)=m=0(k+m)Ck+m1mpk(1p)m=m=0(k+m)(k+m1)!m!(k1)!pk(1p)m=m=0kp(k+m)!m!k!pk+1(1p)m=kpm=0Ck+mmpk+1(1p)m=kpm=0Ck+m1mpk(1p)m=kpm=0fN(k+m)

其中 k=k+1 。右面的级数其实就是一个概率分布之和,和 fN(m) 一样的,只是 k 换成了 k 。如果我们认为这个概率和确实是1,那么就有

E(N)=kp

在结合前面 E(N)=kE(n) 的结论,就有

E(n)=1p,p=1E(n)

所以这样我们就可以求得套装效果触发的概率,我们可以将这个概率称作“平均概率”。

至于如何证明概率之和 m=0fN(k+m) 是1,老实说我也不知道,但我们可以用 Maple 的符号计算功能进行验证。在假设 0<p<1,kN+ 的情况下,这个结论可以得到验证。我们也可以顺便验证一下之前的期望计算的对不对。

image.png

可以看到 Mapple 推导得到了我们所以我们的计算没有问题。

第二种情况

这种情况下的状态图

state2.png

这种情况就比较简单了,我们还是采用和第一种情况一样的思路,即直到第 n 次攻击才触发特效的概率 p 。显然,如果前四次攻击都没有触发效果,第5次攻击必定触发效果。当 n=1p(n)=0.36 ;当 1<n5 时,

p(n)=min[(0.36+0.2(n1)),1]i=1n1[1(0.36+0.2(i1))]

我们可以简单列出一个表

n 1 2 3 4 5
p 0.36 0.3584 0.214016 0.06488064 0.00270336

这样我们就可以计算出首次触发特效的期望攻击次数 E(n)=1.991887 ,约等于 2。根据之前的结论,等效的二项分布试验成功的概率 p 大约为50.2%。同时,这个情况下,前3次攻击的概率也达到了 93.2%,所以基本在前三次攻击就能触发特效,和第一种情况差不多。


虽然新圣遗物很不错,但我选择水套。别问,问就是没树脂。